Teorema

Teorema 1:
El conjunto M de todos los movimientos, en relación con sus composiciones forman un grupo de movimiento.
La demostración de este teorema, es similar a la prueba de los axiomas del grupo de transformaciones.

1-Lla composición de 2 movimientos es un movimiento.
sea M':x➙x',y➙y' donde |x'y'|=|xy|,y
      M":x'➙x",y'➙y", donde |x"y"|=|x'y'|.
2-La transformación de identidad puede ser vista con un movimiento tal que |xy|=|xy|representamos estos como el símbolo.
3- Ahora demostraremos la existencia del movimiento inverso.
Dado un movimiento M: x➙x',y➙y',sabemos que |x'y'|=|xy| llamaremos inverso al movimiento M:x'➙x,y'➙y tal que M*M=M*M=I
Teorema 2:
Con el movimiento del plano tres puntos colineales se reflejan en tres puntos colinelales manteniendo la relación "entre".
Teorema 3:
Un movimiento del plano transforma la circunferencia en otra del mismo radio.
Teorema  4:
un movimiento del plano transforma dos rectas paralelas en otras dos también paralelas.

• De estos teoremas se desprende importantes propiedades.

1. El movimiento del plano transforma una recta en otra recta.

1. El movimiento del plano transforma un semiplano con frontera a,en el semiplano con frontera a',donde a' es la imagen de la recta a.

1. El movimiento del plano guarda la relación "estar entre".

1. El movimiento transforma el segmento AB en el segmento A'B',donde A' y B' son las imágenes de los puntos A,B. el punto medio de segmento AB se transforma en el punto medio del segmento A'B'.

1. El movimiento transforma un rayo en otro rayo, un ángulo en otro ángulo igual al primero.

1. El movimiento transforma la recta perpendiculares en rectas perpendiculares.